дано:
- стороны треугольника: a = 4 см, b = 8 см.
- угол между сторонами: α = 120°.
найти:
- длину высоты h, проведенной к большей стороне (c).
- длину биссектрисы, проведенной к большей стороне (c).
решение:
1. Сначала найдем длину стороны c, используя закон косинусов:
c² = a² + b² - 2ab * cos(α).
Подставим значения:
c² = 4² + 8² - 2 * 4 * 8 * cos(120°).
2. Вычислим cos(120°):
cos(120°) = -1/2.
3. Подставим значение cos(120°) в уравнение:
c² = 16 + 64 + 2 * 4 * 8 * (1/2).
c² = 16 + 64 + 32 = 112.
4. Найдем длину стороны c:
c = √(112) = 4√7 см.
5. Теперь найдем высоту h, проведенную к стороне c. Для этого используем формулу:
h = (a * b * sin(α)) / c.
6. Вычислим sin(120°):
sin(120°) = √3 / 2.
7. Подставим значения в формулу для высоты:
h = (4 * 8 * (√3 / 2)) / (4√7).
h = (32√3 / 2) / (4√7) = (16√3) / (4√7) = 4√3 / √7.
8. Теперь найдем длину биссектрисы d, проведенной к стороне c. Для этого используем формулу:
d = (2ab) / (a + b) * cos(α / 2).
9. Найдем cos(α / 2):
α / 2 = 120° / 2 = 60° → cos(60°) = 1/2.
10. Подставим значения в формулу для биссектрисы:
d = (2 * 4 * 8) / (4 + 8) * (1/2) = (64 / 12) * (1/2) = 64 / 24 = 8 / 3 см.
ответ:
- Длина высоты, проведенной к большей стороне, равна 4√3 / √7 см.
- Длина биссектрисы, проведенной к большей стороне, равна 8/3 см.