дано:
- сторона a = 5√2 см.
- углы: ∠B = 111°, ∠C = 24°.
найти:
- площадь круга, описанного вокруг треугольника (S).
решение:
1. Найдем угол A:
∠A = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 111° - 24° = 45°.
2. Используем закон синусов для нахождения сторон b и c:
b / sin(B) = a / sin(A) = c / sin(C).
3. Выразим стороны b и c:
b = a * (sin(B) / sin(A)) и c = a * (sin(C) / sin(A)).
4. Найдем синусы углов:
sin(A) = sin(45°) = √2 / 2,
sin(B) = sin(111°) ≈ 0.93358,
sin(C) = sin(24°) ≈ 0.40674.
5. Подставим значения:
b = 5√2 * (0.93358 / (√2 / 2)) = 5√2 * (0.93358 * 2 / √2) = 5 * 0.93358 * 2 ≈ 9.34 см.
c = 5√2 * (0.40674 / (√2 / 2)) = 5√2 * (0.40674 * 2 / √2) = 5 * 0.40674 * 2 ≈ 4.07 см.
6. Теперь можем найти радиус R описанной окружности по формуле:
R = (abc) / (4S), где S — площадь треугольника.
7. Найдем площадь S по формуле:
S = (1/2) * a * b * sin(C).
8. Подставим значения:
S = (1/2) * 5√2 * 9.34 * 0.40674 ≈ (1/2) * 5 * 1.414 * 9.34 * 0.40674.
9. Посчитаем:
S ≈ (1/2) * 5 * 1.414 * 9.34 * 0.40674 ≈ 11.35 см².
10. Теперь найдем R:
R = (5√2 * 9.34 * 4.07) / (4 * 11.35).
11. Подсчитаем значение R:
R ≈ (5 * 1.414 * 9.34 * 4.07) / (4 * 11.35) ≈ 14.07 см.
12. Найдем площадь круга:
S = πR² ≈ 3.14 * (14.07)² ≈ 3.14 * 197.96 ≈ 621.45 см².
ответ:
- Площадь круга, описанного вокруг треугольника, равна S ≈ 621.45 см².