Дано:
- Прямоугольный треугольник.
- Косинус одного из углов равен 5/13.
- Площадь треугольника равна 120 см².
- Точка Р находится на расстоянии 2 см от большего катета и на расстоянии 4 см от гипотенузы.
Найти: расстояния от точки Р до меньшего катета.
Решение:
1. Пусть прямоугольный треугольник имеет катеты a и b (где a < b) и гипотенузу c. Косинус одного из углов (пусть угол при катете a) равен 5/13. Тогда из определения косинуса для прямоугольного треугольника:
cos(α) = a / c = 5/13, отсюда a = 5c / 13.
2. Площадь треугольника можно выразить как:
S = (1/2) * a * b = 120 см².
Подставим выражение для a:
(1/2) * (5c / 13) * b = 120.
Упростим:
(5c * b) / 26 = 120,
5c * b = 120 * 26 = 3120,
c * b = 624.
3. Используя теорему Пифагора, для гипотенузы c имеем:
c² = a² + b²,
c² = (5c / 13)² + b²,
c² = 25c² / 169 + b².
Умножим все на 169, чтобы избавиться от знаменателей:
169c² = 25c² + 169b².
Переносим 25c² на левую сторону:
144c² = 169b².
Отсюда:
c² / b² = 169 / 144,
c / b = 13 / 12.
Таким образом, c = (13 / 12) * b.
4. Подставим выражение для c в уравнение c * b = 624:
((13 / 12) * b) * b = 624,
(13 / 12) * b² = 624,
b² = 624 * 12 / 13 = 576.
b = √576 = 24 см.
5. Теперь, используя c = (13 / 12) * b, находим гипотенузу:
c = (13 / 12) * 24 = 26 см.
6. Площадь треугольника уже была использована для получения значений катетов, но для нахождения расстояния от точки Р до меньшего катета воспользуемся следующей теоремой: расстояние от точки внутри треугольника до стороны равно (площадь треугольника) деленная на полупериметр треугольника.
7. Полупериметр треугольника:
P = (a + b + c) / 2 = (5c / 13 + b + c) / 2.
Подставим значения для a, b, c:
P = ((5 * 26 / 13) + 24 + 26) / 2 = (10 + 24 + 26) / 2 = 30.
8. Расстояние от точки Р до меньшего катета (a) равно:
d = 2S / P = 2 * 120 / 30 = 8 см.
Ответ: расстояние от точки Р до меньшего катета равно 8 см.