Дано:
Гипотенуза прямоугольного треугольника делится биссектрисой прямого угла на отрезки 30 см и 40 см.
Найти: радиус окружности, вписанной в треугольник.
Решение:
1. Обозначим длины катетов треугольника как a и b, а гипотенузу как c.
Из условия задачи известно, что биссектриса прямого угла делит гипотенузу на отрезки длиной 30 см и 40 см, которые, в свою очередь, являются частями гипотенузы. Поскольку биссектриса делит гипотенузу на части пропорционально длинам прилежащих катетов, то можно записать следующее отношение:
a / b = 30 / 40.
Упростим это отношение:
a / b = 3 / 4.
2. Поскольку гипотенуза делится на отрезки 30 см и 40 см, то длина гипотенузы будет равна:
c = 30 + 40 = 70 см.
3. Теперь можно воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения катетов. Мы знаем, что:
c² = a² + b².
Подставим значение гипотенузы:
70² = a² + b²,
4900 = a² + b².
4. Из соотношения a / b = 3 / 4 можно выразить один катет через другой. Пусть a = 3k и b = 4k для некоторого числа k. Подставляем это в уравнение Пифагора:
(3k)² + (4k)² = 4900,
9k² + 16k² = 4900,
25k² = 4900,
k² = 4900 / 25,
k² = 196,
k = 14.
Тогда катеты будут равны:
a = 3k = 3 * 14 = 42 см,
b = 4k = 4 * 14 = 56 см.
5. Теперь, зная катеты и гипотенузу, можно найти полупериметр треугольника:
p = (a + b + c) / 2.
Подставляем значения:
p = (42 + 56 + 70) / 2 = 168 / 2 = 84 см.
6. Радиус вписанной окружности можно найти по формуле:
r = (a + b - c) / 2.
Подставляем значения:
r = (42 + 56 - 70) / 2 = 28 / 2 = 14 см.
Ответ: радиус вписанной окружности равен 14 см.