дано:
- основание равнобедренного треугольника AB = 6 см.
- угол при вершине C = 120°.
найти:
- прямоугольник с наибольшей площадью, вписанный в треугольник.
решение:
1. Определим вершины треугольника:
- A и B — основания, C — вершина.
- Поскольку AB = 6 см, отложим A на (-3, 0) и B на (3, 0).
2. Высота треугольника C проведена из вершины C к основанию AB. Сначала найдем координаты точки C.
3. Рассчитаем высоту h треугольника C:
- Угол ACB равен 120°, следовательно, угол CAB равен 30° (из треугольника).
- Высота h = AB/2 * tan(30°) = 3 * (√3/3) = √3 см.
4. Таким образом, координаты точки C:
- C = (0, √3).
5. Теперь мы имеем треугольник ABC с основанием 6 см и высотой √3 см.
6. Прямоугольники, вписанные в треугольник, будут иметь две вершины на основании AB и две вершины на стороне CA и CB.
7. Обозначим высоту прямоугольника как h' и основание как x. Площадь прямоугольника P будет равна:
P = x * h'.
8. Высота h' прямоугольника будет пропорциональна высоте C. При изменении x, h' будет изменяться по соотношению с высотой треугольника.
9. Используем подобие треугольников:
- (h' / h) = (x / AB),
- h' = h * (x / 6) = √3 * (x / 6).
10. Теперь площадь прямоугольника можно выразить как:
P = x * (√3 * (x / 6)) = (√3 / 6) * x².
11. Чтобы найти максимальную площадь, найдем производную P и приравняем к нулю:
dP/dx = (√3 / 3) * x.
12. Приравниваем к нулю:
x = 0 (минимум) или x = 6 (максимум).
13. Площадь максимальна, когда x = 3 см (середина основания):
- P_max = (√3 / 6) * 3² = (√3 / 6) * 9 = (3√3) / 6 = (√3 / 2) см².
ответ:
- Прямоугольник с наибольшей площадью вписывается в равнобедренный треугольник и имеет площадь P = (3√3) / 2 см².