В равнобедренный треугольник с основанием 6 см и углом при вершине 120° вписываются все возможные прямоугольники, две вершины которых лежат на основании. Изобразите этот треугольник и тот из прямоугольников, который имеет наибольшую площадь.
от

1 Ответ

дано:
- основание равнобедренного треугольника AB = 6 см.
- угол при вершине C = 120°.

найти:
- прямоугольник с наибольшей площадью, вписанный в треугольник.

решение:

1. Определим вершины треугольника:
   - A и B — основания, C — вершина.
   - Поскольку AB = 6 см, отложим A на (-3, 0) и B на (3, 0).

2. Высота треугольника C проведена из вершины C к основанию AB. Сначала найдем координаты точки C.

3. Рассчитаем высоту h треугольника C:
   - Угол ACB равен 120°, следовательно, угол CAB равен 30° (из треугольника).
   - Высота h = AB/2 * tan(30°) = 3 * (√3/3) = √3 см.

4. Таким образом, координаты точки C:
   - C = (0, √3).

5. Теперь мы имеем треугольник ABC с основанием 6 см и высотой √3 см.

6. Прямоугольники, вписанные в треугольник, будут иметь две вершины на основании AB и две вершины на стороне CA и CB.

7. Обозначим высоту прямоугольника как h' и основание как x. Площадь прямоугольника P будет равна:
   P = x * h'.

8. Высота h' прямоугольника будет пропорциональна высоте C. При изменении x, h' будет изменяться по соотношению с высотой треугольника.

9. Используем подобие треугольников:
   - (h' / h) = (x / AB),
   - h' = h * (x / 6) = √3 * (x / 6).

10. Теперь площадь прямоугольника можно выразить как:
    P = x * (√3 * (x / 6)) = (√3 / 6) * x².

11. Чтобы найти максимальную площадь, найдем производную P и приравняем к нулю:
    dP/dx = (√3 / 3) * x.

12. Приравниваем к нулю:
    x = 0 (минимум) или x = 6 (максимум).

13. Площадь максимальна, когда x = 3 см (середина основания):
    - P_max = (√3 / 6) * 3² = (√3 / 6) * 9 = (3√3) / 6 = (√3 / 2) см².

ответ:
- Прямоугольник с наибольшей площадью вписывается в равнобедренный треугольник и имеет площадь P = (3√3) / 2 см².
от