Дано:
- Боковая сторона треугольника (боковое ребро пирамиды) l = 12 см.
- Угол при основании треугольника α = 30°.
- Угол между боковыми рёбрами и плоскостью основания β = 60°.
Найти:
Высоту пирамиды h.
Решение:
1. Сначала найдем высоту равнобедренного треугольника, который является основанием пирамиды. Обозначим основание треугольника как AB, а вершину как C. В равнобедренном треугольнике ABC, угол ACB равен 30°. Для нахождения высоты AD (где D — основание высоты, перпендикулярно AB), используем соотношение в прямоугольном треугольнике ACD:
AC = l = 12 см
AD = AC * sin(α) = 12 * sin(30°) = 12 * 0.5 = 6 см.
2. Теперь найдем длину основания AB. Поскольку треугольник равнобедренный, основание будет равно:
AB = 2 * CD, где CD — половина основания.
Используем косинус для нахождения CD:
CD = AC * cos(30°) = 12 * (√3 / 2) = 6√3 см.
Таким образом, основание AB = 2 * 6√3 = 12√3 см.
3. Теперь мы можем найти высоту пирамиды h. Мы знаем, что угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 60°, тогда в прямоугольном треугольнике ABE, где E — проекция вершины пирамиды на плоскость основания, имеем:
tan(β) = h / (AB / 2).
Подставляем значения:
tan(60°) = h / (12√3 / 2)
√3 = h / (6√3)
4. Упрощаем уравнение:
h = 6√3 * √3 = 18 см.
Ответ:
Высота пирамиды составляет 18 см.