Question

Основание пирамиды — равнобедренный треугольник с основанием а и прилежащим к нему утлом а. Все боковые рёбра пирамиды образуют с плоскостью основания угол в. Найдите площадь боковой поверхности конуса, описанного около данной пирамиды.

Answer 1

Дано:
a - основание равнобедренного треугольника. α - угол при основании равнобедренного треугольника. β - угол между боковым ребром пирамиды и плоскостью основания.

Найти:
S - площадь боковой поверхности конуса, описанного около пирамиды.

Решение:

Найдем радиус R окружности, описанной около равнобедренного треугольника. Пусть b - боковая сторона треугольника. Тогда:
b = a / (2sin(α)) R = b / (2sin(α/2)) = a / (4sin(α)sin(α/2))

Это и есть радиус R основания конуса.

Высота пирамиды H определяется через угол наклона боковых ребер:
tan(β) = H / R H = R * tan(β) = [a / (4sin(α)sin(α/2))] * tan(β)

Образующая конуса l:
l² = R² + H² = [a / (4sin(α)sin(α/2))]² + [[a / (4sin(α)sin(α/2))] * tan(β)]² l = [a / (4sin(α)sin(α/2))] * √(1 + tan²(β))

Площадь боковой поверхности конуса:
S = πRl = π * [a / (4sin(α)sin(α/2))] * [a / (4sin(α)sin(α/2))] * √(1 + tan²(β)) S = (πa²) / [16sin²(α)sin²(α/2)] * √(1 + tan²(β))

Ответ:
(πa²) / [16sin²(α)sin²(α/2)] * √(1 + tan²(β))