Question

Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетом b и прилежащим к нему острым углом а. Все боковые рёбра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом ф. Найдите площадь боковой поверхности конуса, описанного около данной пирамиды.

Answer 1

Дано:
b - катет прямоугольного треугольника в основании пирамиды. α - острый угол при катете b. φ - угол наклона боковых ребер к плоскости основания.

Найти:
S - площадь боковой поверхности конуса, описанного около пирамиды.

Решение:

Найдем гипотенузу c прямоугольного треугольника в основании:
c = b / cos(α)

Радиус R основания конуса равен половине гипотенузы:
R = c / 2 = b / (2cos(α))

Высота пирамиды H определяется через угол наклона боковых ребер:
tan(φ) = H / R H = R * tan(φ) = [b / (2cos(α))] * tan(φ)

Образующая конуса l:
l² = R² + H² = [b / (2cos(α))]² + [[b / (2cos(α))] * tan(φ)]² l = [b / (2cos(α))] * √(1 + tan²(φ))

Площадь боковой поверхности конуса:
S = πRl = π * [b / (2cos(α))] * [b / (2cos(α))] * √(1 + tan²(φ)) = (πb²) / (4cos²(α)) * √(1 + tan²(φ))

Ответ:
(πb²) / (4cos²(α)) * √(1 + tan²(φ))