Дано:
- Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетами a и b и углом α между ними.
- Боковая грань пирамиды, содержащая большую сторону основания, перпендикулярна плоскости основания.
- Две другие грани наклонены к основанию под углом β.
Найти: объём пирамиды.
Решение:
1. Площадь основания
Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами a и b. Площадь этого треугольника можно найти по формуле:
S_основания = (1/2) * a * b.
2. Высота пирамиды
Из условия задачи известно, что боковая грань, содержащая большую сторону основания (сторону b), перпендикулярна плоскости основания. То есть высота пирамиды — это расстояние от вершины до основания, и она совпадает с высотой боковой грани, которая наклонена к основанию под углом β.
Для нахождения высоты пирамиды, будем использовать прямоугольный треугольник, где гипотенуза — это боковая грань пирамиды, а один из катетов — это высота пирамиды. Боковая грань, содержащая сторону b основания, равна b (так как она перпендикулярна основанию), а угол наклона этой грани с плоскостью основания равен β.
Таким образом, высота пирамиды h будет равна:
h = b * sin(β).
3. Объём пирамиды
Объём пирамиды можно найти по формуле:
V = (1/3) * S_основания * h.
Подставляем выражения для площади основания и высоты:
V = (1/3) * (1/2) * a * b * b * sin(β).
Упрощаем:
V = (1/6) * a * b² * sin(β).
Ответ:
Объём пирамиды равен (1/6) * a * b² * sin(β).