дано:
- основание равнобедренного треугольника a = 16 см,
- боковая сторона b = 10 см.
найти:
- отношение длин окружностей, описанной и вписанной в треугольник.
решение:
1. Обозначим треугольник ABC, где AB = AC = 10 см и BC = 16 см.
2. Найдем высоту h треугольника, проведенную из вершины A к основанию BC. Для этого используем теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном высотой, половиной основания и боковой стороной.
3. Половина основания:
d = BC / 2 = 16 / 2 = 8 см.
4. Применим теорему Пифагора:
h = √(b² - d²) = √(10² - 8²) = √(100 - 64) = √36 = 6 см.
5. Теперь найдем площадь S треугольника:
S = (1/2) * основание * высота = (1/2) * 16 * 6 = 48 см².
6. Найдем полупериметр p треугольника:
p = (a + b + c) / 2 = (16 + 10 + 10) / 2 = 36 / 2 = 18 см.
7. Теперь вычислим радиус вписанной окружности r:
r = S / p = 48 / 18 = 8/3 см.
8. Для нахождения радиуса описанной окружности R используем формулу:
R = (abc) / (4S).
9. Подставим значения:
a = 16, b = 10, c = 10.
R = (16 * 10 * 10) / (4 * 48) = 1600 / 192 = 25/3 см.
10. Теперь найдем отношение длин окружностей, описанной и вписанной окружностей. Длины окружностей:
L_впис = 2πr = 2π(8/3) = (16π/3),
L_опис = 2πR = 2π(25/3) = (50π/3).
11. Отношение длин окружностей:
отношение = L_опис / L_впис = (50π/3) / (16π/3) = 50 / 16 = 25 / 8.
ответ:
- Отношение длин окружностей, описанной и вписанной в треугольник, равно 25 / 8.