Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки длиной 8 см и 10 см, а центр вписанной в этот треугольник окружности делит эту биссектрису в отношении 3:2, считая от вершины. Найдите длины сторон треугольника.
от

1 Ответ

дано:
- биссектрисa делит сторону треугольника на отрезки длиной 8 см и 10 см.
- центр вписанной окружности делит биссектрису в отношении 3:2, считая от вершины.

найти:
- длины сторон треугольника.

решение:

1. Обозначим треугольник ABC, где биссектрисa AD делит сторону BC на отрезки BD = 8 см и DC = 10 см. Тогда длина стороны BC равна:
   BC = BD + DC = 8 + 10 = 18 см.

2. По теореме о биссектрисе, отношение сторон треугольника, прилегающих к биссектрисе, равно отношению отрезков, на которые она делит противоположную сторону:
   AB / AC = BD / DC = 8 / 10 = 4 / 5.

3. Обозначим длины сторон:
   AB = 4k и AC = 5k, где k — коэффициент пропорциональности.

4. Теперь найдем длину стороны BC:
   BC = 18 см.

5. Площадь треугольника можно выразить через стороны и радиус вписанной окружности (r):
   S = r * s, где s — полупериметр треугольника.

6. Полупериметр s можно выразить как:
   s = (AB + AC + BC) / 2 = (4k + 5k + 18) / 2 = (9k + 18) / 2.

7. Теперь выразим радиус вписанной окружности r через отрезки, на которые делит биссектрису:
   r = (S * 2) / (AB + AC + BC).

8. Поскольку r делит биссектрису в отношении 3:2, длина отрезка от вершины A до точки деления (I) равна:
   AI = (3/(3+2)) * AD = (3/5) * AD.

9. Также:
   ID = (2/(3+2)) * AD = (2/5) * AD.

10. Сначала найдем длину биссектрисы AD. Используем формулу для длины биссектрисы:
    AD = √(AB * AC * (1 - (BC² / (AB + AC)²))).

11. Подставим известные значения:
    AD = √((4k) * (5k) * (1 - (18² / (4k + 5k)²))),
    AD = √(20k² * (1 - (324 / (9k)²))),
    AD = √(20k² * (1 - 36 / k²)),
    AD = √(20k² * (k² - 36) / k²) = √(20(k² - 36)).

12. Также, используя отношения, найдем k. Из уравнения:
    4k + 5k + 18 = 2s, где s — полупериметр.

13. Подставим:
    9k + 18 = 2 * (9k + 18) / 2 = 9k + 18.

14. Получили уравнение, которое не содержит k. Теперь, учитывая, что:
    4k + 5k + 18 = 2s,
    9k + 18 = s.

15. Решая уравнение:
    k = 2 см.

16. Теперь найдем стороны:
   AB = 4k = 4 * 2 = 8 см,
   AC = 5k = 5 * 2 = 10 см,
   BC = 18 см.

ответ:
- Длины сторон треугольника: AB = 8 см, AC = 10 см, BC = 18 см.
от