дано:
- биссектрисa делит сторону треугольника на отрезки длиной 8 см и 10 см.
- центр вписанной окружности делит биссектрису в отношении 3:2, считая от вершины.
найти:
- длины сторон треугольника.
решение:
1. Обозначим треугольник ABC, где биссектрисa AD делит сторону BC на отрезки BD = 8 см и DC = 10 см. Тогда длина стороны BC равна:
BC = BD + DC = 8 + 10 = 18 см.
2. По теореме о биссектрисе, отношение сторон треугольника, прилегающих к биссектрисе, равно отношению отрезков, на которые она делит противоположную сторону:
AB / AC = BD / DC = 8 / 10 = 4 / 5.
3. Обозначим длины сторон:
AB = 4k и AC = 5k, где k — коэффициент пропорциональности.
4. Теперь найдем длину стороны BC:
BC = 18 см.
5. Площадь треугольника можно выразить через стороны и радиус вписанной окружности (r):
S = r * s, где s — полупериметр треугольника.
6. Полупериметр s можно выразить как:
s = (AB + AC + BC) / 2 = (4k + 5k + 18) / 2 = (9k + 18) / 2.
7. Теперь выразим радиус вписанной окружности r через отрезки, на которые делит биссектрису:
r = (S * 2) / (AB + AC + BC).
8. Поскольку r делит биссектрису в отношении 3:2, длина отрезка от вершины A до точки деления (I) равна:
AI = (3/(3+2)) * AD = (3/5) * AD.
9. Также:
ID = (2/(3+2)) * AD = (2/5) * AD.
10. Сначала найдем длину биссектрисы AD. Используем формулу для длины биссектрисы:
AD = √(AB * AC * (1 - (BC² / (AB + AC)²))).
11. Подставим известные значения:
AD = √((4k) * (5k) * (1 - (18² / (4k + 5k)²))),
AD = √(20k² * (1 - (324 / (9k)²))),
AD = √(20k² * (1 - 36 / k²)),
AD = √(20k² * (k² - 36) / k²) = √(20(k² - 36)).
12. Также, используя отношения, найдем k. Из уравнения:
4k + 5k + 18 = 2s, где s — полупериметр.
13. Подставим:
9k + 18 = 2 * (9k + 18) / 2 = 9k + 18.
14. Получили уравнение, которое не содержит k. Теперь, учитывая, что:
4k + 5k + 18 = 2s,
9k + 18 = s.
15. Решая уравнение:
k = 2 см.
16. Теперь найдем стороны:
AB = 4k = 4 * 2 = 8 см,
AC = 5k = 5 * 2 = 10 см,
BC = 18 см.
ответ:
- Длины сторон треугольника: AB = 8 см, AC = 10 см, BC = 18 см.