Дано:
- Катеты прямоугольного треугольника имеют длины а и 2а.
- На большем из катетов (2а) построена окружность с центром на этом катете.
Найти:
- На какие отрезки окружность делит гипотенузу.
Решение:
1. Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами а и 2а. Гипотенуза этого треугольника будет равна:
с = √(а² + (2а)²) = √(а² + 4а²) = √5а.
2. Пусть на катете 2а построена окружность, диаметром которой является этот катет. Радиус окружности будет равен:
r = 2а / 2 = а.
3. Теперь рассмотрим, как окружность пересекает гипотенузу. Для этого используем теорему о том, что если окружность построена на одном из катетов прямоугольного треугольника, то она будет пересекать гипотенузу в точках, делящих её на два отрезка, длины которых можно найти через радиус окружности и катеты треугольника.
4. Площадь треугольника можно выразить через катеты:
S = (1/2) * а * 2а = а².
5. Площадь треугольника можно также выразить через радиус окружности r и полупериметр треугольника. Полупериметр p треугольника равен:
p = (а + 2а + √5а) / 2 = (3а + √5а) / 2.
6. Теперь площадь треугольника выражается через радиус окружности и полупериметр по формуле:
S = r * (p - а) = а * ((3а + √5а) / 2 - а) = а * ((3а + √5а - 2а) / 2) = а * ((а + √5а) / 2).
7. Упростим:
S = (а² + √5а²) / 2.
8. Сравнивая два выражения для площади, получаем:
а² = (а² + √5а²) / 2.
9. Умножаем обе части на 2:
2а² = а² + √5а².
10. Из этого следует:
а² = √5а²,
а = √5.
Ответ:
Таким образом, окружность, построенная на катете 2а, делит гипотенузу на два отрезка длиной √5а каждый.