Дано:
- Вершина A треугольника имеет координаты A(2; 0).
- Вершина C находится на положительной полуоси ординат, то есть C(0; y_C), где y_C > 0.
- Абсцисса точки B равна 8, то есть B(8; y_B).
- Площадь треугольника ABC равна 34.
Найти: ординату точки B, то есть y_B.
Решение:
Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле:
S = (1/2) * основание * высота.
В нашем случае основание можно взять как отрезок AC (по оси x), а высоту – как отрезок CB (по оси y).
1. Найдем длину отрезка AC:
координаты A(2; 0) и C(0; y_C).
Длина AC = |x_A - x_C| = |2 - 0| = 2.
2. Найдем длину отрезка CB:
координаты C(0; y_C) и B(8; y_B).
Длина CB = |y_B - y_C|.
Таким образом, площадь треугольника ABC можно выразить как:
S = (1/2) * AC * CB = (1/2) * 2 * |y_B - y_C| = |y_B - y_C|.
3. У нас есть условие, что площадь треугольника равна 34:
|y_B - y_C| = 34.
Теперь у нас есть два уравнения:
y_B - y_C = 34 (1)
y_C - y_B = 34 (2)
Рассмотрим первое уравнение:
y_B - y_C = 34
=> y_B = y_C + 34.
Теперь подставим y_B в второе уравнение:
y_C - (y_C + 34) = 34
=> y_C - y_C - 34 = 34
=> -34 = 34, что невозможно.
Теперь рассмотрим второе уравнение:
y_C - y_B = 34
=> y_C = y_B + 34.
Теперь подставим y_C в первое уравнение:
y_B - (y_B + 34) = 34
=> y_B - y_B - 34 = 34
=> -34 = 34, что также невозможно.
Таким образом, мы должны использовать только первое уравнение:
y_B - y_C = 34,
где y_C > 0.
Таким образом, y_B = y_C + 34.
Для нахождения y_C, заметим, что C лежит на оси y, а B(8; y_B) и A(2; 0) также должны удовлетворять условию прямоугольного треугольника.
Из условия, что C(0; y_C) и B(8; y_B):
С учетом того, что y_C > 0, мы можем выразить y_B через y_C:
Сначала найдем y_C:
Из равенства площади, подставляем:
34 = (1/2) * 8 * y_C
=> 34 = 4 * y_C
=> y_C = 34 / 4
=> y_C = 8.5.
Теперь подставляем в y_B:
y_B = y_C + 34 = 8.5 + 34 = 42.5.
Ответ: ордината точки B равна 42.5.