Дано:
Длина меньшего основания a = 4.
Длина большего основания b = 10.
Боковые стороны трапеции лежат на взаимно перпендикулярных прямых.
Найти: сумму квадратов диагоналей трапеции.
Решение:
1. Определим длины оснований и высоту.
Пусть h — высота трапеции. Так как боковые стороны лежат на перпендикулярных прямых, высота будет равна длине одной из боковых сторон, а другая боковая сторона будет перпендикулярна к ней.
2. Найдем сумму квадратов диагоналей.
Сумма квадратов диагоналей D1 и D2 трапеции выражается формулой:
D1^2 + D2^2 = a^2 + b^2 + 2h^2,
где a и b — основания трапеции, h — высота.
3. Подставим известные значения.
Сначала вычислим a^2 и b^2:
a^2 = 4^2 = 16,
b^2 = 10^2 = 100.
Теперь найдем сумму:
a^2 + b^2 = 16 + 100 = 116.
4. Найдем h.
Для нахождения h можно использовать свойства трапеции, но так как боковые стороны перпендикулярны, мы можем считать h как просто высоту, которую мы не знаем в этом случае, поэтому пока оставим h^2 как переменную.
5. Итак, подставим в формулу.
D1^2 + D2^2 = 116 + 2h^2.
6. Теперь нам нужно выразить h в терминах оснований.
Мы можем заметить, что h можно выразить через разность оснований и их проекции:
h = (b - a) / 2 = (10 - 4) / 2 = 3.
Теперь найдем h^2:
h^2 = 3^2 = 9.
7. Подставим h^2 в формулу для диагоналей.
Теперь у нас есть:
D1^2 + D2^2 = 116 + 2 * 9,
D1^2 + D2^2 = 116 + 18,
D1^2 + D2^2 = 134.
Ответ: сумма квадратов диагоналей трапеции равна 134.