Дано:
Точки:
A (-2; 3; -1)
B (-2; 7; -6)
C (-1; 7; -6)
D (-1; 4; -1)
Найти:
Докажите, что четырехугольник ABCD является прямоугольником.
Решение:
Для того чтобы показать, что четырехугольник является прямоугольником, необходимо доказать, что его противоположные стороны равны и угол между ними равен 90 градусов.
1. Найдем векторы AB, BC, CD и DA:
AB = B - A = (-2; 7; -6) - (-2; 3; -1) = (0; 4; -5)
BC = C - B = (-1; 7; -6) - (-2; 7; -6) = (1; 0; 0)
CD = D - C = (-1; 4; -1) - (-1; 7; -6) = (0; -3; 5)
DA = A - D = (-2; 3; -1) - (-1; 4; -1) = (-1; -1; 0)
Теперь у нас есть векторы:
AB = (0; 4; -5)
BC = (1; 0; 0)
CD = (0; -3; 5)
DA = (-1; -1; 0)
2. Проверим перпендикулярность смежных сторон. Для этого найдем скалярное произведение векторов:
AB * BC:
(0; 4; -5) * (1; 0; 0) = 0*1 + 4*0 + (-5)*0 = 0
AB и BC перпендикулярны.
BC * CD:
(1; 0; 0) * (0; -3; 5) = 1*0 + 0*(-3) + 0*5 = 0
BC и CD перпендикулярны.
CD * DA:
(0; -3; 5) * (-1; -1; 0) = 0*(-1) + (-3)*(-1) + 5*0 = 3
CD и DA не перпендикулярны.
DA * AB:
(-1; -1; 0) * (0; 4; -5) = (-1)*0 + (-1)*4 + 0*(-5) = -4
DA и AB не перпендикулярны.
3. Теперь проверим длины противоположных сторон:
Длина AB:
|AB| = sqrt(0^2 + 4^2 + (-5)^2) = sqrt(0 + 16 + 25) = sqrt(41)
Длина CD:
|CD| = sqrt(0^2 + (-3)^2 + 5^2) = sqrt(0 + 9 + 25) = sqrt(34)
Длина BC:
|BC| = sqrt(1^2 + 0^2 + 0^2) = sqrt(1) = 1
Длина DA:
|DA| = sqrt((-1)^2 + (-1)^2 + 0^2) = sqrt(1 + 1) = sqrt(2)
Так как все длины и углы не удовлетворяют условиям прямоугольника, четырехугольник ABCD не является прямоугольником.
Ответ:
Четырехугольник ABCD не является прямоугольником.