Дано:
1. Точка A (2; -2)
2. Точка B (1; 2)
3. Точка C (-3; 1)
4. Точка D (-2; -3)
Найти:
Докажите, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником.
Решение:
1. Для того чтобы доказать, что ABCD является прямоугольником, необходимо показать, что хотя бы одна из пар противоположных сторон равны и что углы между соседними сторонами равны 90°.
2. Сначала вычислим длины всех сторон с помощью формулы расстояния между двумя точками:
d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²).
3. Найдем длину стороны AB:
AB = √((1 - 2)² + (2 - (-2))²) = √((-1)² + (4)²) = √(1 + 16) = √17.
4. Найдем длину стороны BC:
BC = √((-3 - 1)² + (1 - 2)²) = √((-4)² + (-1)²) = √(16 + 1) = √17.
5. Найдем длину стороны CD:
CD = √((-2 - (-3))² + (-3 - 1)²) = √((1)² + (-4)²) = √(1 + 16) = √17.
6. Найдем длину стороны DA:
DA = √((2 - (-2))² + (-2 - (-3))²) = √((4)² + (1)²) = √(16 + 1) = √17.
7. Теперь сравним углы. Для этого найдем угловые коэффициенты для каждой стороны:
Угловой коэффициент AB:
k1 = (yB - yA) / (xB - xA) = (2 - (-2)) / (1 - 2) = 4 / (-1) = -4.
Угловой коэффициент BC:
k2 = (yC - yB) / (xC - xB) = (1 - 2) / (-3 - 1) = (-1) / (-4) = 1/4.
Угловой коэффициент CD:
k3 = (yD - yC) / (xD - xC) = (-3 - 1) / (-2 - (-3)) = (-4) / (1) = -4.
Угловой коэффициент DA:
k4 = (yA - yD) / (xA - xD) = (-2 - (-3)) / (2 - (-2)) = (1) / (4) = 1/4.
8. Теперь проверим, что произведение угловых коэффициентов противоположных сторон равно -1:
k1 * k2 = (-4) * (1/4) = -1.
k3 * k4 = (-4) * (1/4) = -1.
9. Поскольку угловые коэффициенты противоположных сторон равны и произведение равно -1, это подтверждает, что углы между соседними сторонами равны 90°.
Ответ:
Четырёхугольник ABCD является прямоугольником, так как противоположные стороны равны и углы между соседними сторонами равны 90°.