Дано:
Координаты середин сторон треугольника: D(-1; 2; 4) E(5; -2; 1) F(3; -3; 5)
Найти:
Координаты вершин треугольника (A, B, C)
Решение:
Пусть A(x_a; y_a; z_a), B(x_b; y_b; z_b), C(x_c; y_c; z_c) - вершины треугольника. Середины сторон:
D - середина AB E - середина BC F - середина AC
Тогда координаты середин выражаются через координаты вершин:
D = ((x_a + x_b)/2; (y_a + y_b)/2; (z_a + z_b)/2) E = ((x_b + x_c)/2; (y_b + y_c)/2; (z_b + z_c)/2) F = ((x_a + x_c)/2; (y_a + y_c)/2; (z_a + z_c)/2)
Составим систему уравнений:
(x_a + x_b)/2 = -1 (1) (y_a + y_b)/2 = 2 (2) (z_a + z_b)/2 = 4 (3)
(x_b + x_c)/2 = 5 (4) (y_b + y_c)/2 = -2 (5) (z_b + z_c)/2 = 1 (6)
(x_a + x_c)/2 = 3 (7) (y_a + y_c)/2 = -3 (8) (z_a + z_c)/2 = 5 (9)
Из (1), (4), (7):
x_a + x_b = -2 x_b + x_c = 10 x_a + x_c = 6
Сложим все три уравнения: 2(x_a + x_b + x_c) = 14 x_a + x_b + x_c = 7
Вычтем из этого уравнения каждое из исходных:
x_c = 9 x_a = -3 x_b = 1
Аналогично для y и z:
y_a + y_b = 4 y_b + y_c = -4 y_a + y_c = -6
2(y_a + y_b + y_c) = 4 => y_a + y_b + y_c = 2
y_c = -6 y_a = 8 y_b = -2
z_a + z_b = 8 z_b + z_c = 2 z_a + z_c = 10
2(z_a + z_b + z_c) = 20 => z_a + z_b + z_c = 10
z_c = 2 z_a = 8 z_b = 0
Ответ:
A(-3; 8; 8) B(1; -2; 0) C(9; -6; 2)