Дано:
Параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Точка M — середина ребра A1B1, точка K — середина ребра CC1. Необходимо выразить вектор MK через векторы AB, AD и AA1.
Решение:
1. Пусть координаты вершин параллелепипеда в декартовой системе координат следующие:
A(0; 0; 0),
B(a; 0; 0),
C(a; a; 0),
D(0; a; 0),
A1(0; 0; a),
B1(a; 0; a),
C1(a; a; a),
D1(0; a; a),
где a — длина ребра параллелепипеда.
2. Определим координаты точек M и K.
- Точка M — середина ребра A1B1, значит её координаты будут:
M = ((0 + a) / 2; (0 + 0) / 2; (a + a) / 2) = (a/2; 0; a).
- Точка K — середина ребра CC1, её координаты:
K = ((a + a) / 2; (a + a) / 2; (0 + a) / 2) = (a; a; a/2).
3. Вектор MK можно найти как разность координат точки K и точки M:
MK = K - M = (a; a; a/2) - (a/2; 0; a) = (a - a/2; a - 0; a/2 - a) = (a/2; a; -a/2).
4. Теперь выразим вектор MK через векторы AB, AD и AA1.
Вектор AB = (a; 0; 0),
Вектор AD = (0; a; 0),
Вектор AA1 = (0; 0; a).
Для этого выразим компоненты вектора MK в виде линейной комбинации векторов AB, AD и AA1:
- Первая компонента (a/2) — это половина длины ребра вдоль оси X, то есть (1/2) * a = (1/2) * AB.
- Вторая компонента a — это длина ребра вдоль оси Y, то есть (1) * AD.
- Третья компонента (-a/2) — это отрицательная половина длины ребра вдоль оси Z, то есть (-1/2) * a = (-1/2) * AA1.
Таким образом, вектор MK можно выразить как:
MK = (1/2) * AB + 1 * AD + (-1/2) * AA1.
Ответ:
Вектор MK можно выразить через векторы AB, AD и AA1 следующим образом:
MK = (1/2) * AB + AD - (1/2) * AA1.