Дано:
- Высота пирамиды h = 25 см.
- Площади основания и усечённой пирамиды: S1 = 75 см² и S2 = 12 см².
- Плоскость, через точку М, параллельная основанию, образует усечённую пирамиду.
Найти: расстояние от точки М до вершины пирамиды.
Решение:
1. Пусть расстояние от вершины пирамиды до точки М равно x см. Таким образом, высота усечённой пирамиды будет равна (25 - x) см.
2. Площади оснований усечённой пирамиды пропорциональны квадратам их линейных размеров, поскольку плоскость параллельна основанию. Пусть коэффициент подобия для линейных размеров усечённой пирамиды равен k. Тогда:
S2 / S1 = (h' / h)²,
где h' — высота усечённой пирамиды, которая равна (25 - x), и h — высота всей пирамиды, равная 25 см.
Таким образом, получаем:
12 / 75 = (25 - x)² / 25².
3. Упростим уравнение:
12 / 75 = (25 - x)² / 625.
Умножим обе части на 625:
625 * (12 / 75) = (25 - x)².
Упростим 625 * (12 / 75):
625 * 12 / 75 = 100, и получаем:
100 = (25 - x)².
4. Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:
25 - x = 10, или 25 - x = -10.
5. Решим оба уравнения:
- Если 25 - x = 10, то x = 15.
- Если 25 - x = -10, то x = 35, но это значение не подходит, так как оно больше высоты пирамиды.
Таким образом, x = 15 см.
Ответ: расстояние от точки М до вершины пирамиды равно 15 см.