Дано: тетраэдр DABC. Медианы грани ADB пересекаются в точке Е, а медианы грани BDC пересекаются в точке F. Необходимо доказать, что EF || AC, а затем выразить вектор EF через вектор AC.
1) Доказательство, что EF || AC
Для доказательства, что отрезки EF и AC параллельны, рассмотрим следующие факты:
- Медианы треугольника соединяют вершину с серединой противоположной стороны.
- Точки пересечения медиан делят их в отношении 2:1, считая от вершины.
- Точки E и F — это центры масс треугольников ADB и BDC соответственно. Таким образом, точки E и F делят медианы в отношении 2:1.
Пусть O — центр масс всего тетраэдра, который является точкой пересечения всех медиан. Так как медианы, соединяющие вершины с центрами масс граней, делят эти медианы в отношении 2:1, можно утверждать, что отрезки, соединяющие эти точки пересечения (E и F), будут параллельны отрезку AC. Таким образом, EF параллелен AC, что и требовалось доказать.
2) Выражение вектора EF через вектор AC
Пусть координаты вершин тетраэдра D, A, B и C векторного пространства будут обозначены как D, A, B и C соответственно. Векторы медиан и их пересечения можно выразить через координаты этих точек:
- Точка E — это точка пересечения медиан грани ADB, то есть центр масс треугольника ADB. Таким образом, вектор E можно выразить как:
E = (1/3)(A + B + D)
- Точка F — это точка пересечения медиан грани BDC, то есть центр масс треугольника BDC. Таким образом, вектор F можно выразить как:
F = (1/3)(B + C + D)
Теперь вычислим вектор EF:
EF = F - E = (1/3)(B + C + D) - (1/3)(A + B + D)
Упростим это выражение:
EF = (1/3)(B + C + D - A - B - D)
EF = (1/3)(C - A)
Таким образом, вектор EF можно выразить как:
EF = (1/3)(C - A)
Теперь выразим вектор EF через вектор AC. Вектор AC = C - A, поэтому:
EF = (1/3) * AC
Ответ: вектор EF = (1/3) * AC.