Дано:
Правильный тетраэдр DABC, ребро которого равно a. Точка M — середина ребра AB.
Найти скалярное произведение векторов:
1) CM и DC;
2) AB и CD.
1) Скалярное произведение векторов CM и DC:
Рассмотрим тетраэдр DABC. Пусть координаты его вершин такие:
- D (0; 0; 0)
- A (a; 0; 0)
- B (0; a; 0)
- C (0; 0; a)
Точка M — середина ребра AB, то есть её координаты будут средними координатами точек A и B:
M = ((a + 0)/2; (0 + a)/2; (0 + 0)/2) = (a/2; a/2; 0).
Векторы CM и DC:
- Вектор CM = M - C = (a/2; a/2; 0) - (0; 0; a) = (a/2; a/2; -a).
- Вектор DC = C - D = (0; 0; a) - (0; 0; 0) = (0; 0; a).
Теперь найдем скалярное произведение векторов CM и DC:
CM • DC = (a/2 * 0) + (a/2 * 0) + (-a * a) = 0 + 0 - a^2 = -a^2.
Ответ: скалярное произведение векторов CM и DC равно -a^2.
2) Скалярное произведение векторов AB и CD:
Векторы AB и CD:
- Вектор AB = B - A = (0; a; 0) - (a; 0; 0) = (-a; a; 0).
- Вектор CD = D - C = (0; 0; 0) - (0; 0; a) = (0; 0; -a).
Теперь найдем скалярное произведение векторов AB и CD:
AB • CD = (-a * 0) + (a * 0) + (0 * -a) = 0 + 0 + 0 = 0.
Ответ: скалярное произведение векторов AB и CD равно 0.