Дано:
Правильная пирамида MABCD с основанием в виде правильного тетраэдра, все её ребра равны a. Пусть точка M — вершина пирамиды. Необходимо найти скалярное произведение векторов AM и AC.
Решение:
1. Пусть вершины пирамиды расположены в трёхмерном пространстве с координатами:
- A = (a, 0, 0)
- B = (0, a, 0)
- C = (0, 0, a)
- D = (0, 0, 0)
- M — вершина пирамиды, её координаты определим как M = (a/2, a/2, a/2) (центр массы тетраэдра).
2. Векторы:
- Вектор AM = M - A = (a/2, a/2, a/2) - (a, 0, 0) = (-a/2, a/2, a/2).
- Вектор AC = C - A = (0, 0, a) - (a, 0, 0) = (-a, 0, a).
3. Скалярное произведение векторов AM и AC:
AM • AC = (-a/2 * -a) + (a/2 * 0) + (a/2 * a) = a²/2 + 0 + a²/2 = a².
Ответ: скалярное произведение векторов AM и AC равно a².