Дано:
а = 4m - 5n,
b = 2m + n,
|m| = |n| = 1,
а ⊥ b (векторы а и b перпендикулярны).
Найти угол между векторами m и n.
Решение:
1. Условие, что векторы а и b перпендикулярны, означает, что их скалярное произведение равно нулю:
а * b = 0.
2. Подставим выражения для векторов а и b:
(4m - 5n) * (2m + n) = 0.
3. Раскроем скалярное произведение:
(4m) * (2m) + (4m) * (n) + (-5n) * (2m) + (-5n) * (n) = 0.
Это дает:
8m * m + 4m * n - 10n * m - 5n * n = 0.
4. Поскольку скалярное произведение m * m = |m|^2 и m * n = n * m, у нас получается:
8|m|^2 + 4(m * n) - 10(m * n) - 5|n|^2 = 0.
5. Используем, что |m| = |n| = 1:
8(1) + 4(m * n) - 10(m * n) - 5(1) = 0.
Это упрощается до:
8 + 4(m * n) - 10(m * n) - 5 = 0.
6. Упростим дальше:
3 - 6(m * n) = 0.
7. Решим это уравнение относительно m * n:
6(m * n) = 3,
m * n = 1/2.
8. Теперь, зная скалярное произведение m * n, можем найти угол между векторами m и n. Скалярное произведение m * n также выражается через угол θ между ними:
m * n = |m| * |n| * cos(θ).
Так как |m| = |n| = 1, получаем:
1/2 = cos(θ).
9. Следовательно, угол θ:
θ = arccos(1/2).
10. Ответ:
θ = 60°.
Ответ: угол между векторами m и n равен 60°.