Дано:
- Основание прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 — ромб со стороной а и острым углом 60° при вершине А.
- Сторона ромба равна а.
- Угол между сторонами ромба 60°.
Необходимо найти скалярное произведение векторов АС и CD.
Решение:
1. Поместим точки в прямоугольную систему координат:
- Пусть A = (0, 0, 0), B = (a, 0, 0), C = (a/2, (a√3)/2, 0), D = (-a/2, (a√3)/2, 0).
2. Вектор АС:
AS = C - A = (a/2, (a√3)/2, 0) - (0, 0, 0) = (a/2, (a√3)/2, 0).
3. Вектор CD:
CD = D - C = (-a/2, (a√3)/2, 0) - (a/2, (a√3)/2, 0) = (-a, 0, 0).
4. Скалярное произведение векторов АС и CD:
AC · CD = (a/2)(-a) + ((a√3)/2)(0) + (0)(0) = -a²/2.
Ответ:
AC · CD = -a²/2.