Дано:
- Куб ABCDA1B1C1D1.
- М — середина ребра AA1.
- Необходимо найти угол между прямыми ВМ и ВС.
Решение:
1. Поместим точки в систему координат:
- Пусть A = (0, 0, 0), B = (a, 0, 0), C = (a, a, 0), D = (0, a, 0), A1 = (0, 0, a), B1 = (a, 0, a), C1 = (a, a, a), D1 = (0, a, a).
- М — середина ребра AA1, следовательно, M = (0, 0, a/2).
2. Вектор BM:
BM = M - B = (0, 0, a/2) - (a, 0, 0) = (-a, 0, a/2).
3. Вектор BC:
BC = C - B = (a, a, 0) - (a, 0, 0) = (0, a, 0).
4. Угол между прямыми ВМ и ВС можно найти через скалярное произведение их направляющих векторов:
cos(θ) = (BM · BC) / (|BM| |BC|).
Сначала находим скалярное произведение BM и BC:
BM · BC = (-a)(0) + (0)(a) + (a/2)(0) = 0.
5. Поскольку скалярное произведение равно 0, это означает, что угол между векторами BM и BC равен 90°.
Ответ:
Угол между прямыми ВМ и ВС равен 90°.