Дано:
- Куб ABCDA1B1C1D1, ребра которого имеют длину а.
- Точка М — середина ребра AB.
- Точка K — середина ребра A1B1.
Нужно найти угол между прямыми MB1 и DK.
Решение:
1. Сначала расположим куб в пространстве с декартовой системой координат, задав координаты его вершин:
- A(0, 0, 0)
- B(a, 0, 0)
- C(a, a, 0)
- D(0, a, 0)
- A1(0, 0, a)
- B1(a, 0, a)
- C1(a, a, a)
- D1(0, a, a)
2. Найдем координаты точек M и K:
- М — середина ребра AB, следовательно, её координаты будут:
M = (0 + a) / 2, (0 + 0) / 2, (0 + 0) / 2 = (a/2, 0, 0).
- K — середина ребра A1B1, её координаты:
K = (0 + a) / 2, (0 + 0) / 2, (a + a) / 2 = (a/2, 0, a).
3. Напишем уравнения для векторов, направленных по прямым MB1 и DK:
- Вектор MB1 = B1 - M = (a, 0, a) - (a/2, 0, 0) = (a/2, 0, a).
- Вектор DK = K - D = (a/2, 0, a) - (0, a, 0) = (a/2, -a, a).
4. Теперь найдем угол между этими двумя векторами, используя формулу для косинуса угла между векторами:
cos(θ) = (v1 • v2) / (|v1| * |v2|),
где v1 = (a/2, 0, a), v2 = (a/2, -a, a).
5. Сначала вычислим скалярное произведение v1 • v2:
v1 • v2 = (a/2) * (a/2) + 0 * (-a) + a * a = a²/4 + a² = 5a²/4.
6. Найдем длины векторов:
|v1| = √((a/2)² + 0² + a²) = √(a²/4 + a²) = √(5a²/4) = a√5/2,
|v2| = √((a/2)² + (-a)² + a²) = √(a²/4 + a² + a²) = √(5a²/4) = a√5/2.
7. Подставим все значения в формулу для косинуса угла:
cos(θ) = (5a²/4) / (a√5/2 * a√5/2) = (5a²/4) / (5a²/4) = 1.
Это означает, что угол между векторами равен 0°, то есть прямые MB1 и DK лежат на одной прямой.
Ответ:
Угол между прямыми MB1 и DK равен 0°.