Задача 1: Параллельность плоскостей х + 3у + 4z - 6 = 0 и 3x + 9y + 12z - 12 = 0
Дано:
Плоскость 1: х + 3у + 4z - 6 = 0
Плоскость 2: 3x + 9y + 12z - 12 = 0
Найти: Проверить, параллельны ли плоскости.
Решение:
1. Для проверки параллельности плоскостей нужно сравнить их нормальные векторы. Нормальный вектор плоскости — это коэффициенты при x, y, z в её уравнении.
Нормальный вектор плоскости 1:
n1 = (1, 3, 4)
Нормальный вектор плоскости 2:
n2 = (3, 9, 12)
2. Плоскости параллельны, если их нормальные векторы пропорциональны. Проверим, являются ли векторы n1 и n2 пропорциональными:
n2 = 3 * n1, потому что (3, 9, 12) = 3 * (1, 3, 4).
Таким образом, нормальные векторы пропорциональны, что означает, что плоскости параллельны.
Ответ: Плоскости параллельны.
---
Задача 2: Параллельность плоскостей х - 6y + 5z - 2 = 0 и 2х + 3у - 4z + 6 = 0
Дано:
Плоскость 1: х - 6y + 5z - 2 = 0
Плоскость 2: 2x + 3y - 4z + 6 = 0
Найти: Проверить, параллельны ли плоскости.
Решение:
1. Найдём нормальные векторы для обеих плоскостей.
Нормальный вектор плоскости 1:
n1 = (1, -6, 5)
Нормальный вектор плоскости 2:
n2 = (2, 3, -4)
2. Проверим, являются ли нормальные векторы пропорциональными. Для этого нужно проверить, можно ли представить один вектор как умножение другого на некоторое число.
Проверим пропорциональность коэффициентов:
1 / 2 ≠ -6 / 3 ≠ 5 / -4.
Коэффициенты не пропорциональны, следовательно, нормальные векторы не пропорциональны.
Ответ: Плоскости не параллельны.