Дано:
Точка A (1, 2, -3), плоскость с уравнением x + 3y + 4z - 29 = 0.
Найти: расстояние от точки A до плоскости.
Решение:
1. Уравнение плоскости:
x + 3y + 4z - 29 = 0.
Нормаль к этой плоскости: вектор (1, 3, 4), так как коэффициенты при x, y, z — это компоненты нормали.
2. Формула для расстояния от точки до плоскости:
d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²),
где (x₀, y₀, z₀) — координаты точки, а A, B, C, D — коэффициенты уравнения плоскости.
3. Подставим данные в формулу:
Плоскость: x + 3y + 4z - 29 = 0, значит A = 1, B = 3, C = 4, D = -29.
Точка A имеет координаты (1, 2, -3).
Расстояние:
d = |1*1 + 3*2 + 4*(-3) - 29| / √(1² + 3² + 4²).
4. Рассчитаем числовые значения:
1*1 + 3*2 + 4*(-3) - 29 = 1 + 6 - 12 - 29 = -34.
d = |-34| / √(1 + 9 + 16) = 34 / √26.
Ответ:
Расстояние от точки A до плоскости равно 34 / √26.