1. Перпендикулярны ли плоскости 2x + 5y - z + 7 = 0 и 3x - 2y - 4z - 9 = 0?
Дано:
Плоскость 1: 2x + 5y - z + 7 = 0
Плоскость 2: 3x - 2y - 4z - 9 = 0
Найти:
Перпендикулярны ли плоскости? Для этого необходимо проверить, перпендикулярны ли их нормальные векторы.
Решение:
1. Найдем нормальные векторы для обеих плоскостей.
Нормальный вектор к плоскости 1:
n1 = (2, 5, -1)
Нормальный вектор к плоскости 2:
n2 = (3, -2, -4)
2. Чтобы плоскости были перпендикулярны, их нормальные векторы должны быть перпендикулярны. Это означает, что их скалярное произведение должно быть равно нулю.
Скалярное произведение n1 и n2:
n1 · n2 = (2)(3) + (5)(-2) + (-1)(-4) = 6 - 10 + 4 = 0
3. Скалярное произведение равно нулю, значит, векторы нормали перпендикулярны, а значит, плоскости тоже перпендикулярны.
Ответ: Плоскости перпендикулярны.
---
2. Перпендикулярны ли плоскости 6x - y + 8 = 0 и y - 6z - 8 = 0?
Дано:
Плоскость 1: 6x - y + 8 = 0
Плоскость 2: y - 6z - 8 = 0
Найти:
Перпендикулярны ли плоскости? Для этого необходимо проверить, перпендикулярны ли их нормальные векторы.
Решение:
1. Найдем нормальные векторы для обеих плоскостей.
Нормальный вектор к плоскости 1:
n1 = (6, -1, 0)
Нормальный вектор к плоскости 2:
n2 = (0, 1, -6)
2. Чтобы плоскости были перпендикулярны, их нормальные векторы должны быть перпендикулярны. Это означает, что их скалярное произведение должно быть равно нулю.
Скалярное произведение n1 и n2:
n1 · n2 = (6)(0) + (-1)(1) + (0)(-6) = 0 - 1 + 0 = -1
3. Скалярное произведение не равно нулю, значит, векторы нормали не перпендикулярны, и плоскости не перпендикулярны.
Ответ: Плоскости не перпендикулярны.