Дано: Точки A(1; -2; 1) и B(4; 1; 8), плоскость параллельна оси y.
Найти: Уравнение плоскости, проходящей через точки A и B и параллельной оси y.
Решение:
1. Плоскость параллельна оси y, значит, её нормаль будет перпендикулярна оси y. Это означает, что в уравнении плоскости не будет компоненты, связанной с переменной y. Уравнение плоскости будет иметь вид:
ax + cz + d = 0.
2. Чтобы найти параметры a и c, воспользуемся точками A и B, которые принадлежат плоскости. Подставим координаты точек A(1; -2; 1) и B(4; 1; 8) в уравнение плоскости.
Для точки A(1; -2; 1):
a * 1 + c * 1 + d = 0, то есть a + c + d = 0. (Уравнение 1)
Для точки B(4; 1; 8):
a * 4 + c * 8 + d = 0, то есть 4a + 8c + d = 0. (Уравнение 2)
3. Из системы уравнений:
а + c + d = 0
4а + 8с + d = 0
Вычитаем уравнение 1 из уравнения 2:
(4a + 8c + d) - (a + c + d) = 0,
3a + 7c = 0,
3a = -7c,
a = -7c / 3.
4. Подставим a = -7c / 3 в уравнение 1:
(-7c / 3) + c + d = 0,
-7c / 3 + 3c / 3 + d = 0,
-4c / 3 + d = 0,
d = 4c / 3.
5. Уравнение плоскости: подставим найденные a и d в уравнение плоскости:
(-7c / 3) * x + c * z + 4c / 3 = 0.
Умножим всё на 3, чтобы избавиться от дробей:
-7c * x + 3c * z + 4c = 0.
6. Можно вынести c за скобки:
c * (-7x + 3z + 4) = 0.
Так как c не может быть равным нулю (иначе плоскость не будет существовать), то уравнение плоскости будет:
-7x + 3z + 4 = 0.
Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через точки A(1; -2; 1) и B(4; 1; 8), параллельной оси y, имеет вид:
-7x + 3z + 4 = 0.