Дано:
- Треугольник ABC.
- Точка M на стороне AC так, что AM : MC = 4 : 5.
- Точка K на стороне BC так, что BK : KC = 1 : 3.
- Отрезки AK и BM пересекаются в точке D.
- DK = 10 см.
Найти: отрезок AD.
Решение:
1. Обозначим длины отрезков:
Пусть AM = 4x и MC = 5x, тогда AC = AM + MC = 4x + 5x = 9x.
2. Пусть BK = y и KC = 3y, тогда BC = BK + KC = y + 3y = 4y.
3. По данным пропорциям можно вычислить положение точек M и K на сторонах AC и BC соответственно:
- Длина отрезка MK будет равна 10 см (DK).
- Поскольку DK = 10 см, то KD = DK = 10 см.
4. Для нахождения AD используем теорему о делении отрезка.
5. У нас есть два треугольника: AMK и BMC.
Используем принцип подобия треугольников:
Так как AK и BM пересекаются в D, то можем написать соотношение:
AD / DK = AM / AC и BD / DK = BK / BC.
6. Подставим известные значения:
AM / AC = (4x) / (9x) = 4/9,
BK / BC = (y) / (4y) = 1/4.
7. Составим пропорцию:
AD / 10 = 4 / 9.
8. Найдем AD:
AD = 10 * (4 / 9) = 40 / 9 ≈ 4.44 см.
Ответ: отрезок AD составляет примерно 4.44 см.