Дано:
- Градусная мера дуги окружности основания цилиндра равна a (0 < a < 180°).
- Угол наклона диагонали сечения к плоскости основания равен b.
- Площадь основания цилиндра S.
Найти: площадь боковой поверхности цилиндра.
Решение:
1. Площадь основания цилиндра S связана с радиусом r его основания следующим образом:
S = π * r^2.
Отсюда находим радиус:
r = sqrt(S / π).
2. Дуга длиной a градусов на окружности имеет длину, которую можно найти по формуле:
L_arc = (a / 360) * 2πr.
Подставим выражение для радиуса r:
L_arc = (a / 360) * 2π * sqrt(S / π).
3. Высота h боковой поверхности цилиндра будет определяться углом наклона b диагонали сечения. Можно выразить h через длину дуги и угол b следующим образом:
h = L_arc * tan(b).
4. Теперь подставим значение L_arc в формулу для высоты:
h = [(a / 360) * 2π * sqrt(S / π)] * tan(b).
5. Площадь боковой поверхности цилиндра P можно вычислить по формуле:
P = 2πr * h.
6. Подставим значение радиуса r и высоты h в формулу площади боковой поверхности:
P = 2π * sqrt(S / π) * [(a / 360) * 2π * sqrt(S / π) * tan(b)].
7. Упростим уравнение:
P = 2π * sqrt(S / π) * (a / 360) * 2π * sqrt(S / π) * tan(b),
P = (4π^2 * S * a * tan(b)) / (360 * π),
P = (4π * S * a * tan(b)) / 360.
Заметьте, что π сокращается.
8. Таким образом, окончательная формула для площади боковой поверхности цилиндра:
P = (S * a * tan(b)) / 90.
Ответ: площадь боковой поверхности цилиндра равна (S * a * tan(b)) / 90.