Дано:
- Сторона основания правильной шестиугольной призмы a.
- Диагональ боковой грани образует с боковым ребром призмы угол α.
Найти: площадь осевого сечения цилиндра, описанного около данной призмы.
Решение:
1. Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, где одна сторона равна высоте h призмы, а другая сторона равна диаметру основания цилиндра.
2. Высоту h правильной шестиугольной призмы можно выразить через сторону a и угол α. Поскольку гранями призмы являются равносторонние треугольники, то высота боковой грани (h) может быть найдена следующим образом:
h = a * tan(α).
3. Теперь найдем радиус основания цилиндра. Радиус r правильного шестиугольника определяется как:
r = a / sqrt(3).
4. Диаметр D основания цилиндра равен:
D = 2 * r = 2 * (a / sqrt(3)) = 2a / sqrt(3).
5. Площадь осевого сечения S_cylinder цилиндра:
S_cylinder = высота * диаметр = h * D.
6. Подставляем значения:
S_cylinder = (a * tan(α)) * (2a / sqrt(3)) = (2a^2 * tan(α)) / sqrt(3).
Ответ: площадь осевого сечения цилиндра, описанного около данной призмы, равна (2a^2 * tan(α)) / sqrt(3).