Дано:
- Основание призмы — равнобедренный прямоугольный треугольник.
- Высота призмы равна h.
- Площадь боковой поверхности призмы S.
Найти: радиус основания цилиндра, описанного около данной призмы.
Решение:
1. Обозначим длины катетов равнобедренного прямоугольного треугольника как a (два равных катета) и b (гипотенуза).
2. Площадь боковой поверхности призмы S выражается через периметр основания P и высоту h:
S = P * h.
3. Периметр P равнобедренного прямоугольного треугольника можно выразить как:
P = a + a + b = 2a + b.
4. Гипотенуза b вычисляется по теореме Пифагора:
b = a√2.
5. Подставляем значение гипотенузы в формулу для периметра:
P = 2a + a√2 = a(2 + √2).
6. Теперь подставляем P в формулу для площади боковой поверхности:
S = (a(2 + √2)) * h
=> a = S / [h(2 + √2)].
7. Радиус описанной окружности R равнобедренного прямоугольного треугольника находится по формуле:
R = (b) / (2√2).
8. Подставляем значение b:
R = (a√2) / (2√2) = a / 2.
9. Теперь подставим a из предыдущего шага:
R = (S / [h(2 + √2)]) / 2
= S / [2h(2 + √2)].
Ответ: радиус основания цилиндра, описанного около данной призмы, равен S / [2h(2 + √2)].