Дано:
- Треугольник ABC, где ∠АСВ = 90°.
- Длина стороны АС = 15 см.
- Высота CD = 12 см.
Найти: длину окружности, вписанной в треугольник BCD.
Решение:
1. Обозначим длины сторон треугольника BCD:
- BC = x (длина отрезка BC),
- BD = h (длина отрезка BD, который равен высоте CD).
2. Для нахождения стороны BC (гипотенузы) можно использовать теорему Пифагора в треугольнике ABC:
AC² + BC² = AB².
3. Сначала найдем длину AB:
AB = sqrt(AC² + CD²) = sqrt(15² + 12²) = sqrt(225 + 144) = sqrt(369) = 19.2 см (приблизительно).
4. Теперь можем найти длину стороны BD. Поскольку CD — это высота, сторона BD равна 12 см.
5. Теперь найдем сторону BC:
По теореме Пифагора:
BC = sqrt(AB² - AC²) = sqrt(19.2² - 15²) = sqrt(368.64 - 225) = sqrt(143.64) = 11.99 см (приблизительно).
6. Мы знаем длины сторон треугольника BCD:
- CD = 12 см,
- BD = 12 см,
- BC = 11.99 см (округленно до 12 см для удобства расчетов).
7. Периметр треугольника BCD равен:
P = BD + CD + BC = 12 + 12 + 12 = 36 см.
8. Площадь треугольника BCD можно найти по формуле:
S = (1/2) * основание * высота = (1/2) * BC * CD = (1/2) * 12 * 12 = 72 см².
9. Длина окружности, вписанной в треугольник, рассчитывается по формуле:
r = S / (P / 2), где r — радиус вписанной окружности.
10. Подставляем известные значения:
r = 72 / (36 / 2) = 72 / 18 = 4 см.
11. Длина окружности, вписанной в треугольник, равна:
L = 2 * π * r = 2 * π * 4 = 8π см.
Ответ: длина окружности, вписанной в треугольник BCD, равна 8π см.