Дано:
- Высота конуса H.
- Угол между образующей конуса и плоскостью основания α.
Найти:
1) площадь осевого сечения конуса S_ос.
2) площадь боковой поверхности конуса S_б.
Решение:
1) Для нахождения площади осевого сечения конуса, которое является равнобедренным треугольником, используем формулу:
S_ос = (1/2) * a * h,
где a — основание треугольника, а h — высота.
2) Основание a в осевом сечении будет равно 2 * r, где r — радиус основания конуса. Чтобы выразить радиус r через высоту H и угол α, воспользуемся:
tan(α) = H / r, откуда
r = H / tan(α).
3) Подставив значение радиуса в формулу для основания:
a = 2 * r = 2 * (H / tan(α)) = 2H / tan(α).
4) Теперь подставим основание a и высоту H в формулу для площади осевого сечения:
S_ос = (1/2) * (2H / tan(α)) * H = H² / tan(α).
5) Площадь осевого сечения:
S_ос = H² / tan(α).
6) Для нахождения площади боковой поверхности конуса используется формула:
S_б = π * r * l,
где l — образующая конуса.
7) Образующую l можно найти из треугольника, используя косинус угла α:
cos(α) = r / l, откуда
l = r / cos(α).
8) Подставляем значение радиуса:
l = (H / tan(α)) / cos(α) = H / (sin(α)).
9) Теперь можем подставить значения в формулу для площади боковой поверхности:
S_б = π * (H / tan(α)) * (H / sin(α)) = (π * H²) / (tan(α) * sin(α)).
Ответ:
1) Площадь осевого сечения конуса равна H² / tan(α).
2) Площадь боковой поверхности конуса равна (π * H²) / (tan(α) * sin(α)).