Дано:
1. Высота усеченного конуса (h) = 4 см.
2. Угол между образующей и плоскостью большего основания (γ) = 60°.
Найти:
Площадь боковой поверхности усеченного конуса (S).
Решение:
1. Сначала найдем длину образующей (l) усеченного конуса. Образующая образуется через высоту и угол γ:
l = h / cos(γ).
Подставим значение h и угол γ:
l = 4 / cos(60°) = 4 / (1/2) = 8 см.
2. Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле:
S = π * (R + r) * l,
где R — радиус большего основания, r — радиус меньшего основания.
3. Однако для нахождения радиусов нам нужно использовать осевое сечение. В осевом сечении усеченного конуса мы имеем прямоугольный треугольник, где:
- Высота h = 4 см.
- Прилежащая сторона к углу γ равна R - r (разница радиусов оснований).
4. Из треугольника, используя угол γ, можем выразить R - r:
R - r = h * tan(γ).
Подставим значения:
R - r = 4 * tan(60°) = 4 * √3.
5. Теперь подставим R - r в формулу для площади S. Для этого нам нужно выразить одно из радиусов. Пусть R = r + 4√3.
6. Теперь подставим это в формулу S:
S = π * (R + r) * l = π * ((r + 4√3) + r) * 8.
Упрощаем:
S = π * (2r + 4√3) * 8 = 16π * (r + 2√3).
7. Но для окончательного ответа нам нужно знать хотя бы один радиус. Если радиус меньшего основания не задан, мы можем выразить S в зависимости от r:
S = 16π * (r + 2√3).
Ответ:
Площадь боковой поверхности усечённого конуса равна 16π * (r + 2√3) см², где r — радиус меньшего основания.