Дано:
a - длина основания равнобедренного треугольника. α - угол между боковыми сторонами равнобедренного треугольника.
Найти:
S - площадь поверхности тела вращения.
Решение:
При вращении равнобедренного треугольника вокруг основания образуется два конуса с общим основанием.
Обозначим высоту треугольника как h, а длину боковой стороны как b.
В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, половиной основания и боковой стороной, имеем:
h = b * cos(α/2) и a/2 = b * sin(α/2)
Из второго уравнения найдем b:
b = a / (2 * sin(α/2))
Площадь боковой поверхности одного конуса равна:
S1 = π * R * l = π * (a/2) * b = π * (a/2) * (a / (2 * sin(α/2))) = πa^2 / (4 * sin(α/2))
Поскольку вращаются две боковые стороны, общая площадь поверхности тела вращения:
S = 2 * S1 = 2 * πa^2 / (4 * sin(α/2)) = πa^2 / (2 * sin(α/2))
Ответ:
πa^2 / (2 * sin(α/2))