Дано:
Развёртка боковой поверхности конуса — полукруг.
Радиус полукруга равен r_разв.
Найти: величина угла при вершине осевого сечения конуса (угол α).
Решение:
1. Развёртка боковой поверхности конуса — это полукруг, а значит, длина дуги полукруга равна половине окружности основания конуса.
2. Пусть r_разв — это радиус полукруга, а r_осн — радиус основания конуса.
3. Длина дуги полукруга равна 2 * π * r_разв / 2 = π * r_разв. Эта длина дуги должна быть равна длине окружности основания конуса, которая равна 2 * π * r_осн.
4. Приравняем эти два выражения:
π * r_разв = 2 * π * r_осн.
5. Сократим на π:
r_разв = 2 * r_осн.
6. Рассмотрим осевое сечение конуса, которое представляет собой равнобедренный треугольник. Высота этого треугольника равна r_разв (радиус полукруга), а основание треугольника равно 2 * r_осн.
7. Угол при вершине осевого сечения конуса — это угол между боковыми сторонами треугольника. Этот угол можно найти с помощью тригонометрии.
8. В равнобедренном треугольнике угол при вершине можно выразить через арктангенс отношения половины основания треугольника (r_осн) к высоте (r_разв).
tg(α / 2) = r_осн / r_разв.
9. Подставим r_разв = 2 * r_осн в это выражение:
tg(α / 2) = r_осн / (2 * r_осн) = 1 / 2.
10. Теперь найдём угол α / 2:
α / 2 = arctg(1 / 2).
11. Используя калькулятор, находим:
α / 2 ≈ 26,565°.
12. Умножаем на 2, чтобы найти полный угол α:
α ≈ 53,13°.
Ответ: Величина угла при вершине осевого сечения конуса примерно 53,13°.