Дано:
- Площадь боковой поверхности конуса S = 9π см²
- Дуга развёртки боковой поверхности имеет градусную меру 120°
Найти: объём конуса.
Решение:
1. Из геометрии конуса известно, что площадь боковой поверхности конуса равна S = π * r * l, где r - радиус основания, l - образующая конуса.
С учётом, что развёртка боковой поверхности представляет собой сектор с углом 120°, длина дуги этого сектора будет равна 2πr * (120° / 360°) = (2πr / 3).
Площадь сектора (которая равна площади боковой поверхности) может быть найдена как S = (1/2) * длина дуги * l = (1/2) * (2πr / 3) * l = (πr * l) / 3.
2. У нас есть S = 9π, подставляем это в формулу:
9π = (πr * l) / 3.
Упростим:
9 = r * l / 3.
Умножим обе части на 3:
27 = r * l.
3. Объём конуса V вычисляется по формуле V = (1/3) * π * r² * h, где h - высота конуса. Чтобы выразить h, используем теорему Пифагора. В прямоугольном треугольнике, образованном радиусом, высотой и образующей, выполняется:
l² = r² + h²,
откуда h = √(l² - r²).
4. Подставляем h в формулу для объёма:
V = (1/3) * π * r² * √(l² - r²).
5. Теперь нужно решить систему уравнений для r и l. Мы знаем, что r * l = 27, то есть l = 27 / r. Подставим это в формулу для объёма:
V = (1/3) * π * r² * √((27 / r)² - r²).
6. Упростим выражение под квадратным корнем:
V = (1/3) * π * r² * √((729 / r²) - r²).
V = (1/3) * π * r² * √(729 / r² - r²).
Ответ: объём конуса V = (1/3) * π * r² * √(729 / r² - r²) кубических сантиметров.