Дано:
Радиус сектора r_сектора = 5 см,
Высота конуса h = 4 см.
Найти:
Центральный угол сектора, обозначим его α.
Решение:
1. Развёртка боковой поверхности конуса — это сектор, радиус которого равен длине образующей конуса, а центральный угол сектора зависит от радиуса основания конуса и длины образующей.
2. Пусть r_осн — радиус основания конуса, l — длина образующей конуса (то есть радиус сектора). По условию задачи, l = 5 см.
3. По теореме Пифагора, длина образующей l можно выразить через радиус основания r_осн и высоту конуса h:
l = √(r_осн² + h²).
4. Подставим значения:
5 = √(r_осн² + 4²),
5 = √(r_осн² + 16).
5. Возведём обе части в квадрат:
25 = r_осн² + 16,
r_осн² = 25 - 16,
r_осн² = 9,
r_осн = 3 см.
6. Теперь, длина дуги сектора (S) равна длине окружности основания конуса, которая равна 2 * π * r_осн:
S = 2 * π * r_осн = 2 * π * 3 = 6π см.
7. Площадь сектора вычисляется как S = l * φ, где φ — центральный угол сектора в радианах, а l — радиус сектора. Площадь сектора также можно выразить как отношение длины дуги сектора к длине окружности полного круга:
S = (α / 2π) * 2 * π * l = α * l.
8. Площадь сектора также равна 6π (длина дуги) в этом случае:
6π = α * 5.
9. Решаем относительно α:
α = 6π / 5.
10. Выражаем α в градусах:
α = (6π / 5) * (180 / π) = 6 * 36 = 216°.
Ответ: Центральный угол сектора равен 216°.