дано:
- высота конуса h = 6 см = 0.06 м
- градусная мера дуги сектора (развертка) α = 120°
найти:
- объём конуса V (в кубических метрах)
решение:
Сначала найдем радиус основания конуса r. Для этого используем свойства сектора и его отношения к образующей конуса. Дуга сектора равна длине окружности основания конуса, а радиус сектора равен образующей конуса.
Длина дуги L сектора можно найти по формуле:
L = (α / 360) * 2 * π * R
где R - образующая конуса, которая является гипотенузой прямоугольного треугольника с высотой h и радиусом r.
Также мы знаем, что длина окружности основания конуса равна:
C = 2 * π * r
Приравняем длину дуги к длине окружности основания:
(α / 360) * 2 * π * R = 2 * π * r
Упростим уравнение, разделив обе стороны на 2 * π:
(α / 360) * R = r
Теперь выразим образующую R через высоту h и радиус r с помощью теоремы Пифагора:
R = √(r² + h²)
Подставим выражение для r в уравнение для R:
R = √[((α / 360) * R)² + h²]
Теперь подставим известные значения:
h = 0.06 м
α = 120°
Прежде всего, подставим 120° в формулу:
(120 / 360) = 1/3
Таким образом, у нас есть:
R = √[((1/3) * R)² + (0.06)²]
Возведем в квадрат:
R² = (1/9) * R² + 0.0036
Переносим все на одну сторону уравнения:
R² - (1/9) * R² = 0.0036
(8/9) * R² = 0.0036
Теперь умножим обе стороны на 9/8:
R² = 0.0036 * (9/8)
R² = 0.00405
Теперь найдём R:
R = √0.00405 ≈ 0.0637 м
Теперь найдем радиус основания r:
r = (1/3) * R = (1/3) * 0.0637 ≈ 0.0212 м
Теперь можем найти объём конуса V по формуле:
V = (1/3) * π * r² * h
Подставим известные значения:
V = (1/3) * π * (0.0212)² * 0.06
Считаем:
V ≈ (1/3) * π * 0.00044944 * 0.06
V ≈ (1/3) * π * 0.0000269664
V ≈ 0.00002831 м³
ответ:
Объём конуса V ≈ 0.00002831 м³ (в кубических метрах)