Дано:
- Площадь трапеции S = 32√3 см²
- Острый угол α = 60°
- Трапеция является равнобокой и в нее можно вписать окружность.
Найти:
Боковую сторону трапеции b.
Решение:
1. Для равнобокой трапеции, у которой можно вписать окружность, выполняется условие: сумма длин оснований равна сумме боковых сторон. Обозначим основания трапеции как a1 и a2, а боковые стороны как b. Тогда:
a1 + a2 = 2b.
2. Формула площади равнобокой трапеции:
S = (a1 + a2) * h / 2,
где h — высота трапеции. Подставим a1 + a2:
S = (2b) * h / 2 = b * h.
3. Получаем:
b * h = 32√3.
Таким образом, h = 32√3 / b.
4. Теперь найдем высоту h через боковую сторону b и угол α. В равнобокой трапеции, высота может быть определена через боковую сторону и синус угла:
h = b * sin(α) = b * sin(60°) = b * (√3 / 2).
5. Подставляем выражение для h в уравнение площади:
b * (32√3 / b) = 32√3,
b * (b * √3 / 2) = 32√3.
6. Упрощаем уравнение:
(b^2 * √3) / 2 = 32√3.
Умножаем обе стороны на 2:
b^2 * √3 = 64√3.
7. Разделим обе стороны на √3:
b^2 = 64.
8. Извлекаем корень:
b = 8 см.
Ответ:
Боковая сторона трапеции составляет 8 см.