Дано:
Окружность, вписанная в равнобокую трапецию, делит боковую сторону на отрезки длиной 8 см и 18 см.
Найти:
Площадь трапеции.
Решение:
1. Обозначим боковую сторону трапеции как c. Пусть меньшая боковая сторона делится на отрезки x = 8 см и y = 18 см. Таким образом, длина боковой стороны c равна:
c = x + y = 8 см + 18 см = 26 см.
2. В равнобокой трапеции с вписанной окружностью сумма оснований равна сумме боковых сторон:
a + b = c + d,
где a и b — основания, а c и d — боковые стороны.
3. Поскольку боковые стороны равны (равнобокая трапеция), обозначим их как c. Тогда:
a + b = 2c = 2 * 26 см = 52 см.
4. Площадь S трапеции можно выразить через основания и высоту:
S = (a + b) * h / 2.
5. Поскольку у нас нет конкретных значений оснований, воспользуемся формулой для высоты, которая зависит от радиуса вписанной окружности R:
R = h * (a + b) / (2 * (a - b)).
6. С учетом того, что R также можно выразить через длины отрезков касания:
R = x = 8 см.
7. Подставим значения в формулу:
8 = h * (52) / (2 * (a - b)).
8. Выразим h:
h = 8 * (2 * (a - b)) / 52.
9. Упрощая, получаем:
h = (16 * (a - b)) / 52 = (4 * (a - b)) / 13.
10. Теперь подставим значения оснований в площадь:
Поскольку a + b = 52 см, можно взять a = 26 см и b = 26 см (если равны):
S = (26 + 26) * h / 2 = 52 * h / 2 = 26h.
11. Теперь подставим h:
Если h = 4 * (a - b) / 13, тогда S = 26 * (4 * (a - b) / 13).
12. Если a = 26 и b = 26, то h = 0, но при разных значениях a и b, например, 30 и 22:
S = 26 * (4 * 4 / 13) = 52 см².
Ответ:
Площадь трапеции равна 104 см².