Дано:
- Высота усечённого конуса h = 6 см.
- Угол между образующей и плоскостью большего основания α = 60°.
Найти:
Площадь боковой поверхности усечённого конуса Sбок.
Решение:
1. Из геометрии усечённого конуса известно, что если угол между образующей и плоскостью основания равен α, то можно найти образующую L через высоту h и угол α:
L = h / cos(α).
2. Подставляем известные значения:
L = 6 / cos(60°) = 6 / (1/2) = 12 см.
3. Теперь необходимо выразить радиусы оснований. Для этого используем свойства треугольника, образованного высотой, образующей и радиусом большего основания R. Так как угол между образующей и высотой составляет 60°, у нас есть:
R = h * tan(α) = 6 * tan(60°).
4. Значение тангенса:
tan(60°) = √3.
5. Таким образом, находим радиус большего основания R:
R = 6 * √3 см.
6. Поскольку диагонали осевого сечения перпендикулярны, это означает, что меньший радиус r можно найти также относительно большей высоты и угла:
r = R - h * tan(60°) = 6√3 - 6√3 + 0 = 0 см.
Это означает, что в данном случае меньший радиус равен нулю, так как усечённый конус вырождается в прямую.
7. Площадь боковой поверхности усечённого конуса рассчитывается по формуле:
Sбок = π * (R + r) * L.
8. Подставляем значения:
Sбок = π * (6√3 + 0) * 12 = 72π√3 см².
Ответ:
Площадь боковой поверхности усечённого конуса равна 72π√3 см².