Дано:
- Радиус большего основания усечённого конуса r1 = 20 см.
- Высота h = 8√3 см.
- Угол между образующей и плоскостью большего основания α = 60°.
Найти:
Площадь боковой поверхности усечённого конуса (S_b).
Решение:
1. Для нахождения площади боковой поверхности усечённого конуса используется формула:
S_b = π * (r1 + r2) * l,
где r1 — радиус большего основания, r2 — радиус меньшего основания, l — образующая.
2. Найдем образующую l. Образующая может быть найдена через высоту h и угол α:
l = h / cos(α).
3. Подставим известные значения:
cos(60°) = 1/2,
l = h / cos(60°)
= (8√3) / (1/2)
= 16√3 см.
4. Теперь нужно найти радиус меньшего основания r2. Используя тангенс угла α, можно выразить r2 через r1 и h:
tan(α) = (r1 - r2) / h.
5. Подставим значение угла и высоты:
tan(60°) = √3.
Таким образом:
√3 = (20 - r2) / (8√3).
6. Перепишем и решим уравнение для r2:
20 - r2 = 8
20 - 8 = r2
r2 = 12 см.
7. Теперь подставим все известные значения в формулу для площади боковой поверхности:
S_b = π * (r1 + r2) * l
= π * (20 + 12) * (16√3)
= π * 32 * (16√3)
= 512√3π см².
Ответ:
Площадь боковой поверхности усечённого конуса равна 512√3π см².