Дано:
1. Угол между образующей усечённого конуса и плоскостью большего основания (α).
2. Образующая усечённого конуса (b).
Найти:
Радиус шара, вписанного в усечённый конус (R_в), и радиусы оснований усечённого конуса (R и r).
Решение:
1. Радиус вписанного шара в усечённый конус можно выразить через образующую и угол α следующим образом:
R_в = (R + r) / 3.
2. Высота h усечённого конуса может быть выражена через образующую b и угол α:
h = b * sin(α).
3. В зависимости от радиусов оснований и высоты, радиусы R и r можно выразить через радиус вписанного шара:
R = R_в + h * tan(α),
r = R_в - h * tan(α).
4. Подставим высоту h в эти уравнения:
R = R_в + (b * sin(α)) * tan(α),
r = R_в - (b * sin(α)) * tan(α).
5. Теперь подставим R_в = (R + r) / 3 в уравнения для R и r:
R = (R + r) / 3 + (b * sin(α)) * tan(α),
r = (R + r) / 3 - (b * sin(α)) * tan(α).
6. Решая систему уравнений, мы можем найти конкретные значения для R и r, но в общем случае:
R_в = (R + r) / 3.
Ответ:
Радиус шара, вписанного в усечённый конус, равен (R + r) / 3 см, где R и r зависят от образующей b и угла α.