Дано:
α - двугранный угол при ребре основания правильной треугольной пирамиды. m - расстояние от центра основания до боковой грани пирамиды.
Найти:
S - площадь боковой поверхности вписанного в пирамиду конуса.
Решение:
Пусть a - сторона основания пирамиды. Радиус R окружности, описанной около основания, равен a / √3. Центр основания совпадает с центром описанной окружности.
Расстояние от центра основания до боковой грани (m) равно радиусу вписанной в основание окружности r умноженному на тангенс половины двугранного угла:
m = r * tg(α/2) где r = (a√3)/6
Высота h основания пирамиды равна: h = a√3/2
Высота Н пирамиды:
Н = h / (3tg(α/2)) = (a√3/2) / (3tg(α/2))
Высота вписанного конуса равна 2/3 высоты пирамиды:
Hк = (2/3)Н = (a√3/9) / tg(α/2)
Радиус Rк основания вписанного конуса равен (1/3) высоты основания пирамиды:
Rк = h / 3 = a√3/6
Образующая l вписанного конуса:
l² = Rк² + Hк² = (a√3/6)² + ((a√3/9)/tg(α/2))² l = √((a√3/6)² + ((a√3/9)/tg(α/2))²)
Площадь боковой поверхности конуса:
S = πRк * l = π * (a√3/6) * √((a√3/6)² + ((a√3/9)/tg(α/2))²)
Ответ:
π * (a√3/6) * √((a√3/6)² + ((a√3/9)/tg(α/2))²)