Дано:
Стороны основания пирамиды: 6 см, 25 см и 29 см.
Высота пирамиды: 4√2 см.
Найти: площадь боковой поверхности конуса, описанного около данной пирамиды.
Решение:
1. Основание пирамиды — треугольник со сторонами 6 см, 25 см и 29 см. Это прямоугольный треугольник, так как 6² + 25² = 29² (36 + 625 = 661). Таким образом, катеты треугольника — 6 см и 25 см, гипотенуза — 29 см.
2. Найдем полупериметр основания треугольника. Полупериметр (p) равен:
p = (6 + 25 + 29) / 2 = 60 / 2 = 30 см.
3. Площадь основания треугольника (S) можно найти по формуле для площади прямоугольного треугольника:
S = (1/2) * 6 * 25 = 75 см².
4. Радиус описанной окружности вокруг основания треугольника можно найти по формуле:
r = S / p = 75 / 30 = 2,5 см.
5. Площадь боковой поверхности конуса можно вычислить по формуле:
S_бок = π * r * l,
где r — радиус основания, l — образующая конуса.
6. Чтобы найти образующую l, воспользуемся теоремой Пифагора. Образующая конуса является гипотенузой прямоугольного треугольника, в котором одна из сторон — это высота пирамиды, а другая — радиус основания конуса. Таким образом:
l = √(r² + h²),
где h — высота пирамиды, r — радиус основания конуса.
Вставим значения:
l = √(2,5² + (4√2)²) = √(6,25 + 32) = √38,25 ≈ 6,19 см.
7. Теперь вычислим площадь боковой поверхности конуса:
S_бок = π * 2,5 * 6,19 ≈ 15,475π см².
Ответ: площадь боковой поверхности конуса примерно равна 15,475π см².