Дано:
1. Стороны треугольника: a = 6 см, b = 25 см, c = 29 см.
2. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания (в) = 60°.
Найти:
Объем пирамиды (V).
Решение:
1. Сначала проверим, является ли треугольник прямоугольным. По теореме Пифагора:
c² = a² + b².
29² = 6² + 25².
841 = 36 + 625.
841 = 841.
Таким образом, треугольник является прямоугольным, где c = 29 см — гипотенуза.
2. Теперь найдем площадь S основания (треугольника) с помощью формулы для прямоугольного треугольника:
S = (1/2) * a * b = (1/2) * 6 * 25 = 75 см².
3. Найдем высоту h пирамиды. Высота h может быть определена через боковое ребро и двугранный угол:
h = l * cos(в),
где l — длина бокового ребра. Чтобы найти l, используем теорему Пифагора в треугольнике, образованном высотой, половиной основания и боковым ребром.
4. Половина основания:
d = c / 2 = 29 / 2 = 14.5 см.
5. Теперь применяем теорему Пифагора:
l² = h² + d².
6. Подставим h:
h = l * cos(60°) = l * (1/2).
7. Подставляем это значение в уравнение:
l² = (l * (1/2))² + (14.5)².
l² = (l² / 4) + 210.25.
8. Умножим обе стороны на 4 для устранения дроби:
4l² = l² + 841.
9. Переносим l² на одну сторону:
3l² = 841.
l² = 841 / 3.
l = √(841 / 3) = √(280.33).
10. Найдем h:
h = (√(280.33)) * (1/2).
11. Теперь подставим h в формулу для объема V:
V = (1/3) * S * h.
12. Подставим значения:
V = (1/3) * 75 * h.
13. Упрощая:
V = 25h.
14. Подставим h:
V = 25 * (√(280.33) * (1/2)).
Ответ:
Объем пирамиды равен 25 * (√(280.33) * (1/2)) см³.